Čísla

Počátek abstraktní doby

Čísla zde nejsou odjakživa, cesta k nim byla dlouhá a myslím, že i dosti trnitá.

Když se podíváme do pravěku na první účetní, tak jim stačilo několik prstů, zářezy na větvi a obchodníkům prostý výřad. Tady máme svoje zboží vy k nim položte co nabízíte, pokecáme odsouhlasíme a vyměníme si hromádky a jde se dál.

Pro malý kmen to šlo snadno, ale když se mělo vést více zápisů, tak dělání čárek, teček nebo klínů už nebylo tak efektivní. Najednou se našel nějaký koumák a vytvořil si svoje zástupné znaky pro jeden prst, jednu ruku nebo dně a možná přidal i nohy. Ouha a číslo je vlastně na světě. Jenže to mělo malý háček, rozuměl tomu pouze on sám a když se náhodou stal večerním chodem nějakého Smilodonta, celý kmen byl účetně v háji.

Nezbylo než tohle umění předávat dál. Mnohdy s nepochopením. Protože obvykle se používaly číslovky jedna a hodně, možná pět prstů a druhá ruka k tomu.

Když nastoupíme do první třídy a učíme se první matematické krůčky, také nám ukazují hrušky a jabka, i když sice umíme „počítat do deseti“, stále jsou čísla jakousi podivností, jež nedávala smysl.

Teprve časem jsme zjistili, že hruška, třešeň, jabko a hroch jsou čtyři kusy něčeho. Jabko a jabko jsou vlastně jabka dvě. Potom jakoby nám přišlo zbytečné se bavit o předmětu jako takovém a začal nás zajímat pouze onen počet. Nějak jsme si číslo od předmětu samotného oddělili a tím jsme v sobě nalezli základ abstraktního myšlení.

Jenže to nebyl konec a ti pošahaní učitelé na nás vytáhli nějaká písmena, přičemž nám drze tvrdili, že jde o nějaké číslo, které může být jakékoli. Myslím, že tomu říkali proměnné, neznámé a jiné nicneříkající záludnosti. No, i to jsme překousli a když dnes vidíme třeba vzorec: \(F = m\cdot \vec{a}\), dovedeme písmenům přiřadit nějaké vhodné hodnoty podle aktuální situace.

Tím se naše myslení dostalo na další úroveň abstrakce. Čísla nejsou ani tak nutná, spíš jak se dostat k výsledku zcela obecně, aby to platilo pro všechny případy.

Jenže člověk se stále učí a zkoumá své okolí, ať chce nebo ne. Probíhá to nějak automaticky. Kousek výše jsme načmáral nějaká „a“ se šipkou – říká se tomu vektor, což může být několik čísel v jednou, kde každé značí nějakou vzdálenost o počátku. Hm, to jsem přehnal, prostě je to několik čísel v jednom. Je to nějaký divný objekt ze, kterého jsem vedle sebe.

No právě, je to objekt a ten má své specifické vlastnosti a je přesně určeno jak s ním lze nakládat. Když se nad tím hluboce zamyslím, tak vlastně může být jedno kolik toho v sobě obsahuje. Zcela mi stačí vědět jak s tou „potvorou“ zacházet. Začali mne zajímat pouze jeho vlastnosti a ne objekt samotný. Najedou jsme zase o krok dál v myšlení a prošli jsem dalším stupněm abstraktního myšlení.

Něco podobného prodělával i pravěký lid když se setkával s čísly. Postupem běhu dějin se jim zdálo, že tyhle zástupné symboly jsou jaksi přirozenými…

Nejstarší druh čísel

Jak jsem řekl, přirozenými. Ale jak se to vezme, že?

Vím, že když mám něčeho jeden kus, tak to není nijak neobvykle a vždy k němu mohu přidat další a další a další až od roku 50000 př.n.l. budu přidávat dodnes a stále jsem neskončil. Důvodem je, že takto mohu přičítat až do skonání světa a pořád to bude málo.

To už se tak přirozené nezdá, že? Další nepřirozenost by bylo, že nemám nic a navíc to má symbol. Jak může nic mít značku? Taky nemělo a to hodně dlouhou dobu, tento symbol vynalezl až nějaký „ind“. Též nemohu přirozeně říct, že když nemám žádnou krávu a tu mi sežere lev, tak budu mít jednu zápornou krávu. Asi blbost, ne?

Tedy žádná nula a už vůbec ne záporné hodnoty – to není přirozené. Proto se vcelku divím, nulu mezi tyto čísla řadí, osobně jsem zcela proti, protože je to navzdory vší přirozenosti.

Dobrá, zkusíme si udělat nějakou primitivní matematickou definici přirozených čísel, co vy na to? No jo málem bych zapomněl, musíme si udělat rychlou odbočku a na parkovišti pokecat o zvláštním objektu:-D

Intermezzo o množině

Hlavně klid a žádnou paniku. Množina je prostě jen souhrn nějakých objektů a je úplně jedno jakých, třeba všech slonů v Africe, druhá by byla množina všech těchto tlustokožců v Asii:-)

Tento objekt má několik zajímavých vlastností. Jedním z nich je, že když nám sloni vymřou, množina bude prázdná – ale pořád je to množina slonů, jen neobsahuje žádný prvek.

Další kuriozita je, že stejné prvky v množině se berou jako jeden, tedy naše sloní africká množina má mohutnost (tak se říká její velikosti) jedna. Kdybych si to tam dělil na samce a samičky, tak bude mít mohutnost dva.

Nakonec jedna bezva vlastnost, když budu mít slony pojmenované, tak je nemusím řadit podle abecedy:-D, ale jak tak množina bude velká netuším. Určitě bude mít svůj konec – říkáme, že konečná a sloni půjdou spočítat, tedy je spočetná.

Na druhou stranu existují množiny nekonečné a nespočetné.

To jen na okraj, abyste věděli, že cosi takového je. Někdy tomu věnuji delší rozpravu – hm, o hodně delší.

Čísla přirozená

Nyní se tedy podíváme na slíbenou definici, ale fakt primitivní – ovšem funkční.

1. Máme číslo jedna, které je přirozené číslo
2. Každé přirozené číslo různé od nuly má svého následníka
3. Neexistuje následník z přirozených čísel, jehož následníkem by bylo číslo jedna.
4. Různá čísla naší množiny mají různé následníky.
5. Pokud některou z vlastností splňuje číslo jedna, nebo každé číslo, které je následníkem nějakého čísla splňující danou vlastnost, pak vlastnost splňují všechna přirozená čísla.

Matematik by mne za tohle sice odvedl na hranici, hned vedla Giordana Bruna, ale je mi to jedno – hlavně aby to splnilo účel nepochopitelnosti. Na tom si matematici dost zakládají:-)

Stručně řečeno jsou to čísla od 1 do nekonečna. Tím jsme však neskončili, protože přirozená čísla mají i několik vlastností, jako každý objekt. Navíc dostala i svou vlastní značku \(\mathbb{N}\).

Tedy přirozená čísla jsou nekonečná, ale spočetná množina – když budeme mít nekonečně dost času, tak to dokážete.

A vůbec, zvykejte si na matematický hantec a jejich klikyháky:

1. Přirozená čísla můžeme sčítat a vždy bude výsledek přirozené číslo – uzavřenost na sčítání. \[\forall x, y \in \mathbb{N}; (x + y) \in \mathbb{N}\] 2. Pokud sečteme dvě přirozená čísla, výsledek bude vždy stejný, i když pořadí čísel prohodíme – komutativnost. \[\forall x, y \in \mathbb{N}; (x + y)=(y+x)\] 3. Obě věty platí i pro násobení. \[\forall x, y \in \mathbb{N}; (x \cdot y) \in \mathbb{N}\] \[\forall x, y \in \mathbb{N}; (x \cdot y)=(y\cdot x)\] 4. Pokud dělíme dvě přirozená čísla nemusí být výsledkem přirozené číslo – nejsou uzavřená na dělení. \[\exists x, y \in \mathbb{N}; \frac{x}{y} \notin \mathbb{N} \] 5. Odčítání dvou přirozených čísel nemusíme dostat přirozené číslo – nejsou uzavřena na odčítání. \[\exists x, y \in \mathbb{N}; (x-y) \notin \mathbb{N} \] 6. Prohození čísel při odčítání a dělení nedá stejný výsledek, pokud čísla nejsou stejná – tyto operace nejsou komutativní. \[\forall x, y \in \mathbb{N}; \frac{x}{y} \neq \frac{y}{x}; x\neq y\] \[\forall x, y \in \mathbb{N}; (x-y)\neq(y-x); x\neq y\] 7. Existuje neutrální prvek pro násobení. Prostě je číslo, kterým mohu násobit cokoli a zase to cokoli dostanu zpět – jednička. \[\exists! 1; \forall x \in \mathbb{N}; 1 \cdot x = x\] 8. Neexistuje neutrální prvek pro sčítání – nula prostě není přirozené číslo. (Ale oficiálně ji tam řadí, fuj).

Tohle by mohlo pro dnešek být více než dostačující, příště si výše uvedená tvrzení dokážeme a trochu rozšíříme obzor o novou množinu čísel.