Kategorie: Matematika

Zvláštní konvence zápisu

Zvláštní konvence zápisuNeskutečná lenost fyziků, jako například Einsteina, vedla ke skoro nepochopitelným konstrukcím matematických zápisů. Na druhou stranu nezaberou celou tabuli:-D

Einsteinova sumační konvence

Představte si třeba takový skalární součin vektorů \(\mathrm{\mathbf{A}} = \left \{a_1, a_2, a_3, \dots a_N \right \}\) a \(\mathrm{\mathbf{B}} = \left \{b_1, b_2, b_3, \dots b_N \right \}\):

\[ \mathrm{\mathbf{A}} \cdot \mathrm{\mathbf{B}} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \dots  + a_Nb_N\]

vypadá to dost stašidelně, že? Ovšem je pravdou, že matematik by na to nasadil operátor sumy \(\sum\):

\[\mathrm{\mathbf{A}} \cdot \mathrm{\mathbf{B}} = \sum_{k=1}^N a_kb_k\]

a dá se říct, že tento zápis už je pochopitelnější. Jenže dosti jedincům, co vidí to písmeno sigma, stoupají vlasy hrůzou z toho co to vůbec znamená. Fyzikové se prostě rozhodli že bude nejlepší tohle:

\[\mathrm{\mathbf{A}} \cdot \mathrm{\mathbf{B}} = a_kb_k\]

Je to fakt dost krátký zápis, ale copak lze normálně pochopit? Upřímně řečeno dá se to. Jednoduše když někde v nějakém zápisu najdeme dva stejné indexy, automaticky přes ně sčítáme. Dokonce je úplně jedno jestli to bude \(k\) nebo \(q\) nebo třeba \(\alpha\). Tento index se také nazývá němý index.

Jako další příklad si můžeme vzít něco podobného  – součin matic \(\mathrm{\mathbf{M_1}} = \left \{a_{12} \right \}\) a \(\mathrm{\mathbf{M_2}} = \left \{b_{12} \right \}\). Rozepisovat to nebudu, snad bude stačit ta stará dobrá suma. Nebo jo ale jenom tak stručnědevil

\[ \begin{eqnarray} c_{11} &=& a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21}\\ c_{12} &=& a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22}\\ c_{21} &=& a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21}\\ c_{22} &=& a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} \end{eqnarray}\]

\[ \left\{\mathrm{\mathbf{M_1}} \cdot \mathrm{\mathbf{M_2}}\right\}_{12} = \sum_{k=1}^2a_{pk}b_{kz} = a_{pk}b_{kz}\]

Nemusíte se děsit, že tam máte nějak zbytečně moc indexů ty němé, přes které se sčítá prostě vymizí a zůstanou jen ty podstatné, říká se jim volné indexy, a přes tyto se nesčítá.

Ovšem pozor na tento zápis: \(\{\mathrm{\mathbf{A}} \cdot \mathrm{\mathbf{B}}\}_{qn} =a_{qn}b_{nn}\), takto by vznikl neskutečný chaos. Tohle nikdy nepsát.

Lagrangeova věta

Tady bude asi trochu fyziky, protože se podíváme na přírůstek hodnot nějaké funkce třeba \(f(x)\). Tato funkce má nějaký průběh, který lze graficky znázornit například v karteziánských souřadnicích na osách x a y.

c Δ x f ( x 1 ) f ( x 2 ) Δ y y x f ( x ) x 1 x

Pokusíme si sestavíme rovnici pro \(y\) daném rozsahu,  která by teoreticky mohla vypadat takto: \[y = \frac{f(x_2) - f(x_1) }{x_2 - x_1} = \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]

Jenže tohle z pohledu matematika rozhodně nemůže platit, protože ona funkce má dost podivný průběh a vůbec netušíme co se v ní děje mezi \(x_1\) a \(x_2\). To tedy znamená, že rovnice by měla mít spíše tento tvar:

\[y \doteq \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]

Ovšem my chceme přesné misto a přesnou hodnotu funkce, což znamená, že \(\Delta x\) musí být nekonečně malé. Je pro děsný těžko napsatelný i vyslovitelný výraz – infinitezimálně malý. Hrozný slovo, že?

Tak co s tou rovnici provedeme? Budeme muset do ní zavést limitu pro \(\Delta x\) jdoucí až k nule a to se dostáváme do další úrovně.

1. diferenciál

Tedy Lagrangeova věta hovoří o konečném přírůstku, i když třeba malém, přece konečném. Zatímco co 1. diferenciál nám dává nekonečně malý přírůstek a s tím i naprosto přesné výsledky. Tak jdeme si tam fláknout tu limitu a pak to podle lenosti fyziků zkrátíme, myslím formu zápisu, nikoli matematicky.

\[y = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}  \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]

Zkratka je, že v čitateli napíšeme změnu průběhu funkce (\(\Delta f)\) a pak budeme muset asi tušit jaký výraz to znamená z Lagrangeovy věty a rovnice by vypadala takto:

\[y = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}  \frac{\Delta f}{\Delta x}\]

Vypadá to líp, ale furt by to ještě něco chtělo. Ta limita se mi psát moc nechce, jsem taky línej. Fyzikové naštěstí vymysleli písmenko d, psané kolmým řezem, které v sobě už tu pošahanou limitu obsahuje. Tedy výraz budeme zapisovat s tím písmenkem:

\[y = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\]

Teď mě napadá otázka. Kdyby jsme si udělali výpočet rychlosti, což je taky vlastně funkce, a z ní chtěli okamžitý stav. Rychlost v průměru má vzorec:

\[v = \frac {s}{t}\]

kde \(s\) je dráha a \(t\) je čas. Pak bychom mohli použít 1.diferenciál pro okamžitou rychlost, že jo?

\[v = \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\]

Je to správně, ne? To by šlo o derivaci dráhy podle času. Čas se ve fyzice používá dost často a lenost fyziků je skoro nepřekonatelná, tedy i zde našli zkratu.

\[v=\dot{s}\]

Když tohle někde uvidíte, tak se na stoprocentně jedná o první derivaci podle času. Poku jsou ty tečky dvě, je to druhá derivace.

No snad to bude pro dnešek stačit. A v případě dotazů, vzniklých chyb apod. zanechte prosím komentář.

Děkuji vám za pozornost a přeji krásný den.

print Formát pro tisk

Komentáře rss

Přidat komentář >

Nebyly přidány žádné komentáře.

Časomíra

Doporučení